1. BQT thông báo: Bạn sẽ tiết kiệm rất nhiều, rất nhiều thời gian khi bạn tuân thủ ĐIỀU KHOẢN SỬ DỤNG của diễn đàn. "Bạn dành 1 tiếng, 2 tiếng... để đăng bài, BQT chỉ cần 1 phút để xóa tất cả các bài đăng của bạn."
    Dismiss Notice

Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số có lời giải

Thảo luận trong 'Tin tức trong nước' bắt đầu bởi toanhoc, Thg 1 21, 2017.

Lượt xem: 1,030

  1. toanhoc

    toanhoc Moderator

    Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

    a) y = 4 + 3x - x2 ; b) y = x3 + 3x2 - 7x - 2 ;

    c) y = x4 - 2x2 + 3 ; d) y = -x3 + x2 - 5.

    Hướng dẫn giải:

    1. a) Tập xác định : D = R; y' = 3 - 2x => y' = 0 ⇔ x = 3/2.

    Bảng biến thiên :

    [​IMG]

    Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; [​IMG]); nghịch biến trên khoảng ( [​IMG]; +∞ ).

    b) Tập xác định D = R;
    y'= x2 + 6x - 7 => y' = 0 ⇔ x = 1, x = -7.

    Bảng biến thiên :

    [​IMG]

    Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞ ; -7), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-7 ; 1).

    c) Tập xác định : D = R.

    y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) => y' = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1.

    Bảng biến thiên : Học sinh tự vẽ

    Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1 ; 0), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (0 ; 1).

    d) Tập xác định : D = R. y' = -3x2 + 2x => y' = 0 ⇔ x = 0, x = [​IMG].

    Bảng biến thiên :

    [​IMG]

    Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; [​IMG] ) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; 0),

    ( [​IMG]; +∞).

    Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

    a) [​IMG] ; b) [​IMG] ;

    c) [​IMG] ; d) [​IMG].

    Hướng dẫn giải:

    a) Tập xác định : D = R [​IMG]{ 1 }. [​IMG]> 0, ∀x [​IMG] 1.

    Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

    b) Tập xác định : D = R[​IMG] { 1 }. [​IMG] < 0, ∀x [​IMG] 1.

    Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

    c) Tập xác định : D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞).

    [​IMG] ∀x ∈ (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞).

    Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ < 0; với x ∈ (5 ; +∞) thì y’ > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +∞).

    d) Tập xác định : D = R[​IMG] { -3 ; 3 }. [​IMG] < 0, ∀x [​IMG] ±3.

    Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞).



    Bài 3. Chứng minh rằng hàm số y = [​IMG] đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1 ; +∞).

    Hướng dẫn giải:

    Tập xác định : D = R. y' = [​IMG] => y' = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.

    Bảng biến thiên :

    [​IMG]

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (1 ; +∞).



    Bài 4. Chứng minh rằng hàm số y = [​IMG] đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1 ; 2).

    Hướng dẫn giải:

    Tập xác định : D = [0 ; 2]; y' = [​IMG], ∀x ∈ (0 ; 2); y' = 0 ⇔ x = 1.

    Bảng biến thiên :

    [​IMG]

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2).



    Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

    a) tanx > x (0 < x < [​IMG]); b) tanx > x + [​IMG] (0 < x < [​IMG]).

    Hướng dẫn giải:

    a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ; [​IMG]).

    Ta có : y’ = [​IMG] - 1 ≥ 0, x ∈ [0 ; [​IMG]); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; [​IMG]).

    Từ đó ∀x ∈ (0 ; [​IMG]) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.

    b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x - [​IMG]. với x ∈ [0 ; [​IMG]).

    Ta có : y’ = [​IMG] - 1 - x2 = 1 + tan2x - 1 - x2 = tan2x - x2

    = (tanx - x)(tanx + x), ∀x ∈ [0 ;[​IMG] ).

    Vì ∀x ∈ [0 ; [​IMG]) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).

    Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; [​IMG]).

    Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; [​IMG]). Từ đó : ∀x ∈ [0 ; [​IMG]) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x - [​IMG] > tan0 - 0 - 0 = 0 hay tanx > x + [​IMG].
     
    Chỉnh sửa cuối: Thg 1 21, 2017
  2. thegioismart

    thegioismart New Member

Chia sẻ trang này